Главная Страховое дело
Актуарные расчеты
|
|
|||||
6.1.3. Номинальные процентные ставкиРассмотрим промежуток времени длиной 1 /р. Если в качестве единицы измерения принят один год, то наиболее важными являются случаи: //=12 (рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу), р=4 (для промежутка времени один квартал), р = 2 (рассматриваемый промежуток времени равен полугодию). Эффективная процентная ставка /Ф) за этот промежуток времени составляет При этом в финансовой математике принято характеризовать доходность вложения средств па промежутке 1 /р не эффективной (т.е. реальной) процентной ставкой Следует отметить, что номинальная процентная ставка служит лишь удобным способом описания реально применяемой эффективной ставки Из формул (6.2) и (6.5) мы имеем: ПРИМЕР 6.2 Пусть эффективная годовая процентная ставка г = 12%. Найдите ежемесячные, квартальные и полугодовые эффективные и номинальные процентные ставки. Решение Согласно формуле (6.2): Тогда эффективные процентные ставки равны: месячная квартальная полугодовая Они показывают, как реально начисляются проценты каждый период времени Соответствующие номинальные процентные ставки находятся по формуле (6.7): Таким образом, расчетные значения номинальных процентных ставок равны: месячная квартальная полугодовая Как видим, номинальные процентные ставки отличаются от годовой эффективной. Иногда величину i00 называют поминальной процентной ставкой, выплачиваемой (начисляемой) с частотой р (nominal rate of interest payable (convertible) pthly). Понятие номинальной процентной ставки, а также формулы (6.7) и (6.2) очень важны при расчете рент, страховых премий, пенсий. 6.1.4. Приведенная ценность денег. Коэффициент дисконтированияПредположим, что в момент времени t > 0 в будущем мы должны будем выплатить некоторую сумму С. Возникает вопрос, какую сумму C(–t) необходимо вложить сейчас (в момент ί0 = 0), чтобы к моменту t иметь в точности требуемую сумму С? Как следует из параграфа 6.1.3, для этой суммы выполняется соотношение: Формулы (6.3) и (6.9) означают, что ценность денег постоянно меняется с течением времени. ПРИМЕР 6.3[1] Пусть эффективная годовая процентная ставка i = 12%, тогда сумма С = 1000 руб. в настоящий момент превратится в сумму 1000(1 + г) = 1120 руб. спустя один год. В то же время, С = = 1000 руб. в настоящий момент может быть получено инвестированием 1000(1+ i) 1 = 892,86 руб. годом раньше. Если, например, в момент t0 = 0 нам должны вернуть 1000 руб, то мы можем согласиться на возврат 892,86 руб. в момент t = -1 (поместив их в банк, мы все равно получим в момент t0 = 0 сумму 1000 руб.). Однако, в момент t = 1 мы должны требовать возврата 1120 руб. Ведь если бы в момент f0 = 0 нам вернули 1000 руб, то поместив их в банк, к моменту /: = 1 мы бы имели 1120 руб. Таким образом, суммы
Поэтому производить любые сравнения, сложения и т.п. над денежными суммами можно только при условии, что все эти суммы рассматриваются в один и тот же момент времени. Как следует из (6.9) ценность суммы С в момент t > 0 есть Если t < 0, то стоимость в момент ί0=0 суммы С в момент t равна сумме, накопленной за время t'= -t. Как следует из раздела 6.1.3, эта сумма равна Таким образом, вне зависимости от знака t, ценность в момент ί0 = 0 суммы С в момент t есть Величина P{t) называется современной ценностью {present value, PV) суммы С в момент t. В литературе встречаются термины современная стоимость, приведенная стоимость и т.д. Приведенная ценность единичной суммы (С= 1) обозначается ν(ί): Величину называют коэффициентом дисконтирования (учета) (discount factor). Тогда формула приведенной стоимости (6.10) примет вид: Коэффициент дисконтирования показывает, какую величину v нужно вложить сейчас при процентной ставке i, чтобы через год получить единичную сумму С = 1. Поскольку начальный момент времени может быть выбран произвольно, ценность Сх в момент суммы С2 в момент t-2 дается формулой: Отсюда следует, что ПРИМЕР 6.4[2] Пенсионный фонд должен выплатить участнику 26 000 руб.:
Найдите величину обязательств фонда по отношению к этому участнику на 1 января 2008 г. Техническая процентная ставка, используемая фондом для оценки своих обязательств, i = 5%. Решение Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 2008 г., а один месяц равен 1/12 года. Тогда:
Коэффициент дисконтирования v дается формулой поэтому величина обязательств фонда на 1 января 2008 г. равна 6.1.5. Эффективная и номинальная учетная ставка, связь с другими финансовыми показателямиПредположим, что в момент t0 = 0 мы даем взаймы сумму С. В таком случае в момент t = 1 нам должны вернуть сумму С-(1 + г), которая состоит из двух частей: возврата основного капитала С и процентов на капитал С'= С-i. Сумма С-i в момент t = 1, будучи приведенной к моменту t0 = 0, имеет ценность Поэтому проценты на капитал могут быть выплачены и заранее, в момент t0 = 0 получения займа. Тогда, из полученных выше формул, эти проценты, выплачиваемые вперед, составляют d = i/(i + 1) от первоначальной суммы займа С. Величина d называется эффективной учетной ставкой (effective rate of discount) за единицу времени. Учетная ставка d может быть выражена как через интенсивность процентов 5, так и через коэффициент дисконтирования ν: Предположим, что теперь сумма С = 1 дается в долг на время 1 /р с предварительной выплатой процентов. При этом эффективная процентная ставка за период 1 /р есть Именно эта сумма должна быть выплачена в момент t = /р в виде процентов. Если ее привести к моменту ф = О, то согласно (6.10) она будет иметь ценность Так как i = ¢/(1 – d), то для эффективной учетной ставки ¢/00 за время 1 /р получим формулу: Однако в финансовой математике, как уже отмечалось, принято работать не с эффективными (т.е. реальными) учетными ставками за время 1 /р, а с так называемыми номинальными (т.е. условными, не существующими реально) учетными ставками (nominal rate of discount)•. Из формулы (6.13) получим: Величину ¢/(/0 называют номинальной учетной ставкой, начисляемой с частотой р (nominal rate of discount convertible pthly). Понятие номинальной учетной ставки, а также формулы (6.14) и (6.15) очень важны при расчете рент, страховых премий и пенсий. ПРИМЕР 6.5[3] Проценты по определенному банковскому счету начисляются в соответствии с переменной интенсивностью процентов: В момент Решение Предположим, что в момент Ц сделан вклад в размере 1. Введенный выше коэффициент накопления В нашем случае В момент t = 3 + 0 на счете будет сумма Поэтому проценты за промежуток С другой стороны, по условию эти проценты равны X. Решая получившееся уравнение, получаем: |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | >> |
---|