6.1.3. Номинальные процентные ставки

Рассмотрим промежуток времени длиной 1 /р. Если в качестве единицы измерения принят один год, то наиболее важными являются случаи: //=12 (рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу), р=4 (для промежутка времени один квартал), р = 2 (рассматриваемый промежуток времени равен полугодию). Эффективная процентная ставка /Ф) за этот промежуток времени составляет

При этом в финансовой математике принято характеризовать доходность вложения средств па промежутке 1 /р не эффективной (т.е. реальной) процентной ставкой , а так называемой номинальной процентной ставкой (nominal rate of interest):

(6.7)

Следует отметить, что номинальная процентная ставка служит лишь удобным способом описания реально применяемой эффективной ставки

Из формул (6.2) и (6.5) мы имеем:

(6.8)

ПРИМЕР 6.2

Пусть эффективная годовая процентная ставка г = 12%. Найдите ежемесячные, квартальные и полугодовые эффективные и номинальные процентные ставки.

Решение

Согласно формуле (6.2):

Тогда эффективные процентные ставки равны:

месячная

квартальная

полугодовая

Они показывают, как реально начисляются проценты каждый период времени .

Соответствующие номинальные процентные ставки находятся по формуле (6.7):

Таким образом, расчетные значения номинальных процентных ставок равны:

месячная

квартальная

полугодовая

Как видим, номинальные процентные ставки отличаются от годовой эффективной.

Иногда величину i00 называют поминальной процентной ставкой, выплачиваемой (начисляемой) с частотой р (nominal rate of interest payable (convertible) pthly). Понятие номинальной процентной ставки, а также формулы (6.7) и (6.2) очень важны при расчете рент, страховых премий, пенсий.

6.1.4. Приведенная ценность денег. Коэффициент дисконтирования

Предположим, что в момент времени t > 0 в будущем мы должны будем выплатить некоторую сумму С. Возникает вопрос, какую сумму C(–t) необходимо вложить сейчас (в момент ί0 = 0), чтобы к моменту t иметь в точности требуемую сумму С? Как следует из параграфа 6.1.3, для этой суммы выполняется соотношение:

(6.9)

Формулы (6.3) и (6.9) означают, что ценность денег постоянно меняется с течением времени.

ПРИМЕР 6.3^[1]

Пусть эффективная годовая процентная ставка i = 12%, тогда сумма С = 1000 руб. в настоящий момент превратится в сумму 1000(1 + г) = 1120 руб. спустя один год. В то же время, С = = 1000 руб. в настоящий момент может быть получено инвестированием 1000(1+ i) 1 = 892,86 руб. годом раньше. Если, например, в момент t0 = 0 нам должны вернуть 1000 руб, то мы можем согласиться на возврат 892,86 руб. в момент t = -1 (поместив их в банк, мы все равно получим в момент t0 = 0 сумму 1000 руб.). Однако, в момент t = 1 мы должны требовать возврата 1120 руб. Ведь если бы в момент f0 = 0 нам вернули 1000 руб, то поместив их в банк, к моменту /: = 1 мы бы имели 1120 руб.

Таким образом, суммы

• 892,86 руб. в момент ¢=-1,
• 1000 руб. в момент ¢ = 0,
• 1120 руб. в момент ¢ = +1 в сущности, эквивалентны (при фиксированной процентной ставке i = 12%). Это означает, что ценность денег постоянно меняется с течением времени.

Поэтому производить любые сравнения, сложения и т.п. над денежными суммами можно только при условии, что все эти суммы рассматриваются в один и тот же момент времени.

Как следует из (6.9) ценность суммы С в момент t > 0 есть

Если t < 0, то стоимость в момент ί0=0 суммы С в момент t равна сумме, накопленной за время t'= -t. Как следует из раздела 6.1.3, эта сумма равна

Таким образом, вне зависимости от знака t, ценность в момент ί0 = 0 суммы С в момент t есть

(6.10)

Величина P{t) называется современной ценностью {present value, PV) суммы С в момент t. В литературе встречаются термины современная стоимость, приведенная стоимость и т.д.

Приведенная ценность единичной суммы (С= 1) обозначается ν(ί):

(6.10а)

Величину

(6.106)

называют коэффициентом дисконтирования (учета) (discount factor). Тогда формула приведенной стоимости (6.10) примет вид:

(6.11)

Коэффициент дисконтирования показывает, какую величину v нужно вложить сейчас при процентной ставке i, чтобы через год получить единичную сумму С = 1.

Поскольку начальный момент времени может быть выбран произвольно, ценность Сх в момент суммы С2 в момент t-2 дается формулой:

Отсюда следует, что– эта формула выражает одинаковую ценность обеих сумм в момент

ПРИМЕР 6.4^[2]

Пенсионный фонд должен выплатить участнику 26 000 руб.:

• • 5000 руб. 1 июня 2009 г.;
• • 6000 руб. 1 февраля 2012 г.;
• • 7000 руб. 1 ноября 2013 г.;
• • 8000 руб. 1 мая 2015 г.

Найдите величину обязательств фонда по отношению к этому участнику на 1 января 2008 г. Техническая процентная ставка, используемая фондом для оценки своих обязательств, i = 5%.

Решение

Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 2008 г., а один месяц равен 1/12 года. Тогда:

• • 1 июня 2009 г. – это момент
• • 1 февраля 2012 г. – это момент
• • 1 ноября 2013 г.– это момент
• • 1 мая 2015 г. – это момент

Коэффициент дисконтирования v дается формулой

поэтому величина обязательств фонда на 1 января 2008 г. равна

6.1.5. Эффективная и номинальная учетная ставка, связь с другими финансовыми показателями

Предположим, что в момент t0 = 0 мы даем взаймы сумму С. В таком случае в момент t = 1 нам должны вернуть сумму С-(1 + г), которая состоит из двух частей: возврата основного капитала С и процентов на капитал С'= С-i.

Сумма С-i в момент t = 1, будучи приведенной к моменту t0 = 0, имеет ценность

Поэтому проценты на капитал могут быть выплачены и заранее, в момент t0 = 0 получения займа. Тогда, из полученных выше формул, эти проценты, выплачиваемые вперед, составляют d = i/(i + 1) от первоначальной суммы займа С.

Величина d называется эффективной учетной ставкой (effective rate of discount) за единицу времени.

Учетная ставка d может быть выражена как через интенсивность процентов 5, так и через коэффициент дисконтирования ν:

(6.12)

Предположим, что теперь сумма С = 1 дается в долг на время 1 /р с предварительной выплатой процентов. При этом эффективная процентная ставка за период 1 /р есть

Именно эта сумма должна быть выплачена в момент t = /р в виде процентов. Если ее привести к моменту ф = О, то согласно (6.10) она будет иметь ценность

Так как i = ¢/(1 – d), то для эффективной учетной ставки ¢/00 за время 1 /р получим формулу:

(6.13)

Однако в финансовой математике, как уже отмечалось, принято работать не с эффективными (т.е. реальными) учетными ставками за время 1 /р, а с так называемыми номинальными (т.е. условными, не существующими реально) учетными ставками (nominal rate of discount)•.

(6.14)

Из формулы (6.13) получим:

(6.15)

Величину ¢/(/0 называют номинальной учетной ставкой, начисляемой с частотой р (nominal rate of discount convertible pthly).

Понятие номинальной учетной ставки, а также формулы (6.14) и (6.15) очень важны при расчете рент, страховых премий и пенсий.

ПРИМЕР 6.5^[3]

Проценты по определенному банковскому счету начисляются в соответствии с переменной интенсивностью процентов:

В момент на счет кладется сумма 100 у.е., а в момент t = 3 вносится дополнительная сумма X. Найдите эту сумму, если известно, что она равна процентам, начисленным за промежуток времени .

Решение

Предположим, что в момент Ц сделан вклад в размере 1.

Введенный выше коэффициент накопления

В нашем случае так что

В момент t = 3 + 0 на счете будет сумма а в момент t = 6 она вырастет до

Поэтому проценты за промежуток равны

С другой стороны, по условию эти проценты равны X. Решая получившееся уравнение, получаем:

• [1] Фалин Г. И. Указ. соч.
• [2] Прообраз задачи см.: Фалин Г. И. Указ. соч.
• [3] Course/Evam 2 – Economics, Finance and Interest Theory. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, November 2001.