Полная версия

Главная arrow Страховое дело arrow Актуарные расчеты

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

6.2.4. Возрастающие и убывающие ренты. Приведенная стоимость к началу и к концу платежного периода

Рассмотрим п последовательных единичных промежутков времени (0, 1), (1, 2),..., (п – 1, п). Под моментом £0=0 мы обычно будем подразумевать настоящий момент, а в каче

стве единичного промежутка времени будем рассматривать один год. Этот выбор, напомним, условен и с равным успехом, например, в качестве единичного промежутка можно рассматривать один квартал.

Серия из п выплат величиной 1, 2,..., п, сделанных в конце этих промежутков, т.е. в моменты tx = 1, ί2=2, ..., t„=n, называется запаздывающей (постнумерандо) возрастающей рентой (increasing immediate annuity). Ее приведенная ценность в момент ί0=0 в финансовой математике обозначается (1а)ц (рис. 6.6).

Приведенная (современная) стоимость запаздывающей возрастающей ренты (постнумерандо)

Рис. 6.6. Приведенная (современная) стоимость запаздывающей возрастающей ренты (постнумерандо)

В силу формулы (6.16)

(6.35)

Сумму в правой части этого равенства можно представить как . Выражение в скобках – это производная суммы

(геометрической прогрессии). Поэтому

(6.36)

Используя формулу (6.21), мы можем выразить стоимость запаздывающей возрастающей ренты через стоимость соответствующей постоянной запаздывающей ренты:

(6.37)

Серия из п выплат величиной 1, 2, ..., п, сделанных в начале промежутков (0, 1), ..., (и – 1, п), т.е. в моменты £0=0,..., t„ = η – 1, называется упреждающей (пренумерандо) возрастающей рентой (increasing annuity due). Ее приведенная стоимость в момент ί0=0 обозначается (1а)ц. В силу формулы (6.16)

Сумма в правой части этого равенства была подсчитана при выводе формулы (6.35), так что

(6.38)

Можно выразить стоимость возрастающей упреждающей ренты через стоимость постоянной упреждающей ренты:

(6.39)

ПРИМЕР 6.9[1]

Найдите стоимость следующей ренты, которая платится в конце каждого месяца на протяжении пяти лет. Первая выплата в размере 200 руб. производится через месяц после покупки ренты, а каждая последующая выплата на 200 руб. больше предыдущей. Проценты начисляются в соответствии с номинальной процентной ставкой i И) = 9%.

Решение

Примем 200 руб. в качестве единицы измерения денежных сумм, один месяц – в качестве единицы времени, момент приобретения ренты – в качестве начального. Тогда рассматриваемая рента представляет собой серию из п = 60 выплат величиной 1, 2, ..., п, сделанных в моменты t = 1, t2 = 2,..., t„ = η = 60. Такой денежный поток, как уже было введено, называется запаздывающей возрастающей рентой (increasing immediate annuity). Приведенная стоимость этой ренты в момент tQ = 0 равна по (6.37):

Здесь i – эффективная процентная ставка для единичного промежутка времени (одного месяца), т.е. ; она легко может быть подсчитана из соотношения

где – эффективная процентная ставка для одного квартала. Итак, i ~ 0,7444%, а искомая стоимость ренты равна (у.е.), или в абсолютных цифрах около 272 921 руб.

Рассмотренные выше возрастающие рентные платежи начинались на первом промежутке (0,1) (в начале его, т.е. в момент £0=0, для упреждающей ренты и в конце, т.е. в момент £j = l, для запаздывающей ренты). Для приложений важны также так называемые отсроченные возрастающие ренты (deferred increasing annuity). Чтобы их определить, рассмотрим последовательные единичные промежутки времени (0, 1), (1, 2), ..., (т – 1, /и), (т, т + 1), ..., (т + п- 1, т + п). Как и раньше, под моментом £0=0 мы будем подразумевать настоящий момент.

Серия из п выплат величиной 1, 2, ..., п, сделанных в начале (конце) промежутков , т + 1),..., (т + п- 1, т + п), т.е. в моменты т т + п- 1 (соответственно, т + 1,..., т + п), называется отсроченной возрастающей упреждающей (пренумерандо) (соответственно, запаздывающей (постнумерандо)) рентой. Ее приведенная стоимость в настоящий момент времени £0=0 обозначается (соответственно,. Как и для постоянных рент, эти величины легко подсчитать в два приема: сначала нужно определить стоимость ренты в момент tm = т начала периода платежей, а затем привести эту стоимость к моменту £0=0. Это немедленно даст:

(6.40)

(6.41)

Часто полезно знать приведенную стоимость ренты не в начальный момент времени, а в конце последнего платежного периода. Эту стоимость можно интерпретировать как общую сумму, накопленную на банковском счете после серии регулярно увеличивающихся взносов. Ее обозначают так же, как и соответствующую приведенную ценность в начальный момент, но с заменой буквы а на букву s.

Итак, – это приведенная ценность упреждающей и запаздывающей возрастающей ренты соответственно в момент tn = п окончания платежного периода (для запаздывающей ренты t„ – это момент последнего платежа, а для упреждающей – спустя единицу времени после последнего платежа). Формулы для накоплений можно получить, приводя к моменту tn = п значение соответствующей ренты в момент ί0=0:

(6.42)

(6.43)

Для отсроченных возрастающих рент, так же как и для отсроченных постоянных рент, специальные обозначения для накоплений не нужны, так как с точки зрения последнего промежутка времени отсроченная рента не отличается от соответствующей обычной.

С помощью полученных формул для простейших возрастающих рент можно определить стоимость рент, в которых величина выплат возрастает в соответствии с произвольной арифметической прогрессией. Предположим, что выплаты производятся в моменты i0=0, = 1,.... t„ i = w -1 и i-я выплата (т.е. выплата в момент £,• = г) дается формулой

(6.44)

Такую переменную ренту можно рассматривать как объединение двух рент – постоянной упреждающей ренты с величиной выплат (а – β) и возрастающей упреждающей ренты с единицей измерения выплат β. Поэтому ценность в момент t0=0 ренты (6.44) есть

(6.45)

а накопление к моменту t„=n есть

(6.46)

С помощью полученных в подразделах 6.2.2, 6.2.4 формул эти величины можно выразить и через основные параметры г, v, <1.

ПРИМЕР 6.10[2]

Рента выплачивается ежегодно с запаздыванием на протяжении 20 лет. Первая выплата имеет величину 8000, а величина каждой последующей выплаты уменьшается на 300 каждый год. Найдите современную стоимость этой ренты при годовой процентной ставке 5%.

Решение

Пусть современная стоимость равна Л'.

Тогда и

Поэтому

Вычитая, мы получим: и поэтому

Использование функций, связанных с возрастающими рентами, позволяет дать более короткое решение.

Рассмотрим эту ренту как постоянную ренту с ежегодной выплатой 8300, минус возрастающая рента, для которой r-й платеж имеет величину 300г. Значит,

ПРИМЕР 6.11[3]

Инвестор покупает пожизненную ренту с переменной величиной ежегодных выплат. На протяжении пяти первых лет он будет получать (раз в год, в конце года) одну и ту же сумму 10 у.е., а начиная с шестого года эта сумма будет ежегодно увеличиваться на к%. Найдите к, если при эффективной годовой процентной ставке i = 9,2% современная стоимость этой ренты равна 167,50 у.е.

Решение

В соответствии с условием задачи инвестор будет получать сумму 10 у.е. в моменты 1, 2, 3, 4, 5 и сумму 10(1 + к/ΙΟΟ)"-5 в моменты t„ = п для п = 6,7, .... Современная стоимость этого денежного потока равна

откуда

ПРИМЕР 6.12[3]

Долг погашается на протяжении пяти лет ежемесячными платежами. Процентная ставка для сделки равна 9% годовых, начисляемых ежемесячно. Первая выплата производится через месяц после получения ссуды и равна 1000. Каждая последующая выплата на 2% меньше предыдущей.

Найдите размер невыплаченного долга после того, как сделана 40-я выплата.

Решение

Примем один месяц в качестве единицы времени и найдем эффективную процентную ставкудля этого периода, соответствующую номинальной процентной ставке:

Хотя в нашем случае сумма займа неизвестна, размеры последовательных выплат меняются в соответствии с простым законом и могут быть легко определены. Величина п-й выплаты, р„, дается формулой

Поэтому будем находить искомый балансперспективным методом. Для этого примем момент 40 в качестве начального, так что для оплаты долга нужно сделать 20 выплат размером 1000 * х (0,98)10. 1000 • (0,98)" 1000 • (0,98)59 в моменты 1, 2, ..., 20 соответственно. Приведенная стоимость этого денежного потока в момент 0 (т.е. сразу после 40-го платежа по займу) равна

  • [1] Course/Exam 2 – Economics, Finance and Interest Theory. The Society of

    Actuaries and the Casualty Actuarial Society, November 2001.

  • [2] McCutcheon J. J., Scott W. F. An Introduction to the Mathematics of Finance. Buttenvorth-Heinemann, 1986.
  • [3] Course/Exam 2Economics, Finance and Interest Theory. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, November 2001.
  • [4] Course/Exam 2Economics, Finance and Interest Theory. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, November 2001.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>