7.4. Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов

Реальные статистические данные доступны для округленного времени жизни. Это связано как с удобством сбора информации, так и с традиционной формой их представления в таблицах смертности. Следовательно, возникает обратная задача определения непрерывных характеристик Тх, если известны дискретные характеристики, которая может рассматриваться как задача интерполяции. При этом достаточно интерполировать только функцию выживания.

В актуарной математике эта проблема решается на основе выдвигаемой гипотезы о виде функций выживания между узлами интерполяции. Рассмотрим три таких гипотезы:

• – равномерное распределение смертей;
• – постоянная интенсивность смертности;
• – предположение Балдуччи.

Равномерное распределение смертей

Самой простой является интерполяция линейными функциями.

Основные предположения гипотезы – линейность функции дожития между двумя соседними точками (узлами интерполяции) – пи(и+ 1).

(7.72)

(7.73)

(7.74)

Таким образом, на отрезке η < х < п +1 функция s(r) приближается линейной функцией

(7.75)

Записывая х в виде х = п + t, где 0 < t < 1, этой формуле можно придать вид

(7.76)

Для плотности f(x) получаем

(7.77)

Соответственно для интенсивности смертности μχ имеем

(7.78)

С помощью величины эту формулу можно переписать в виде

(7.79)

или (7.80)

Рассматриваемое приближение имеет возрастание интенсивности смертности между узлами интерполяции. В целочисленных точках плотность /(.г) и интенсивность смертности μ,, не определены.

Одно из важных следствий предположения заключается в следующем.

Для целого п и (0; 1) вероятности смерти лица возраста п в течение дробного временного интервала t равна:

(7.81)

Для целого п и вероятность смерти:

(7.82)

Таким образом, в предположении о линейной интерполяции функции выживания вероятность смерти в течение части года пропорциональна длине этой части.

Постоянная интенсивность смертности

Основное предположение гипотезы – постоянство силы смертности на интервале:

Поскольку -1п(5(х)) '= -μν, это условие равносильно экспоненциальному характеру развития S(x) на

Интерполируем функцию выживания s(x) экспоненциальной функцией

(7.83)

Можно определить а„ и Ьп:

(7.84)

(7.85)

где величина

определена нами ранее как вероятность того, что человек в возрасте п лет проживет еще по меньшей мере один год. Таким образом,

(7.86)

Записывая хв виде х = п +1, где 0 < t < 1, можно получить:

(7.87)

А так как 5(n + t)/S(n) = ,рп, это дает важную формулу для расчета вероятности дожития до любого дробного возраста (х = п + t) согласно выдвинутой гипотезе:

(7.88)

Для плотности f(x) это приближение дает:

(7.89)

Для интенсивности смертности μν:

(7.90)

Это подтверждает, что рассматриваемой интерполяции соответствует предположение о постоянной интенсивности смертности между двумя днями рождения.

Предположение Балдуччи

Предположение Балдуччи (Balducci), в отличие от предположения о равномерном распределении смертей, линейными на участке хе [и; п + 1] функциями интерполирует 1/5(.т). Это приводит к следующим формулам:

(7.91)

(7.92)

Отсюда можно получить формулу для х(.т) на отрезке п < х < п +1

(7.93)

где вероятности р„ и qn определены как вероятность того, что человек в возрасте п лет проживет еще по меньшей мере один год, и вероятность того, что человек в возрасте п лет умрет на протяжении этого года, соответственно.

Для плотности /(.г) это приближение дает

(7.94)

Соответственно для интенсивности смертности рг имеем следующее приближение:

(7.95)

Предположение Балдуччи влечет убывание интенсивности смертности между узлами интерполяции.

Если в формуле (7.93) разделить левую и правую части на s(n), то получим:

или

(7.96)

Одно из важных следствий предположения Балдуччи заключается в следующем:

(7.97)

Итак, согласно гипотезе Балдуччи вероятность смерти до очередного дня рождения пропорциональна времени до этого дня рождения.

ПРИМЕР 7.13

Вероятность умереть для мужчины 60 лет в течение года равна 0,023196. Аналогичная вероятность для мужчины 61 года равна 0,021139 (по данным приложения 10). Определите вероятность того, что 60-летний мужчина умрет в возрасте от 60,5 до 61,5 лет, в предположении Балдуччи.

Решение

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой (7.51):

Таким образом, следует найти функции выживания для дробного числа возрастов. Возникает задача аппроксимации, которая решается исходя из различных предположений распределения смертей. По условию необходимо использовать гипотезу Балдуччи.

Воспользуемся формулой (7.93):

Тогда

Так как то

Ответ: в предположении Балдуччи вероятность того, что 60-летний мужчина умрет в возрасте от 60,5 лет до 61,5 лет, равна 0,0219.