Главная Страховое дело
Актуарные расчеты
|
|
|||||
7.4. Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастовРеальные статистические данные доступны для округленного времени жизни. Это связано как с удобством сбора информации, так и с традиционной формой их представления в таблицах смертности. Следовательно, возникает обратная задача определения непрерывных характеристик Тх, если известны дискретные характеристики, которая может рассматриваться как задача интерполяции. При этом достаточно интерполировать только функцию выживания. В актуарной математике эта проблема решается на основе выдвигаемой гипотезы о виде функций выживания между узлами интерполяции. Рассмотрим три таких гипотезы:
Равномерное распределение смертейСамой простой является интерполяция линейными функциями. Основные предположения гипотезы – линейность функции дожития между двумя соседними точками (узлами интерполяции) – пи(и+ 1). Таким образом, на отрезке η < х < п +1 функция s(r) приближается линейной функцией Записывая х в виде х = п + t, где 0 < t < 1, этой формуле можно придать вид Для плотности f(x) получаем Соответственно для интенсивности смертности μχ имеем С помощью величины или Рассматриваемое приближение имеет возрастание интенсивности смертности между узлами интерполяции. В целочисленных точках плотность /(.г) и интенсивность смертности μ,, не определены. Одно из важных следствий предположения заключается в следующем. Для целого п и (0; 1) вероятности смерти лица возраста п в течение дробного временного интервала t равна: Для целого п и Таким образом, в предположении о линейной интерполяции функции выживания вероятность смерти в течение части года пропорциональна длине этой части. Постоянная интенсивность смертностиОсновное предположение гипотезы – постоянство силы смертности на интервале Поскольку -1п(5(х)) '= -μν, это условие равносильно экспоненциальному характеру развития S(x) на Интерполируем функцию выживания s(x) экспоненциальной функцией Можно определить а„ и Ьп: где величина определена нами ранее как вероятность того, что человек в возрасте п лет проживет еще по меньшей мере один год. Таким образом, Записывая хв виде х = п +1, где 0 < t < 1, можно получить: А так как 5(n + t)/S(n) = ,рп, это дает важную формулу для расчета вероятности дожития до любого дробного возраста (х = п + t) согласно выдвинутой гипотезе: Для плотности f(x) это приближение дает: Для интенсивности смертности μν: Это подтверждает, что рассматриваемой интерполяции соответствует предположение о постоянной интенсивности смертности между двумя днями рождения. Предположение БалдуччиПредположение Балдуччи (Balducci), в отличие от предположения о равномерном распределении смертей, линейными на участке хе [и; п + 1] функциями интерполирует 1/5(.т). Это приводит к следующим формулам: Отсюда можно получить формулу для х(.т) на отрезке п < х < п +1 где вероятности р„ и qn определены как вероятность того, что человек в возрасте п лет проживет еще по меньшей мере один год, и вероятность того, что человек в возрасте п лет умрет на протяжении этого года, соответственно. Для плотности /(.г) это приближение дает Соответственно для интенсивности смертности рг имеем следующее приближение: Предположение Балдуччи влечет убывание интенсивности смертности между узлами интерполяции. Если в формуле (7.93) разделить левую и правую части на s(n), то получим: или Одно из важных следствий предположения Балдуччи заключается в следующем: Итак, согласно гипотезе Балдуччи вероятность смерти до очередного дня рождения пропорциональна времени до этого дня рождения. ПРИМЕР 7.13 Вероятность умереть для мужчины 60 лет в течение года равна 0,023196. Аналогичная вероятность для мужчины 61 года равна 0,021139 (по данным приложения 10). Определите вероятность того, что 60-летний мужчина умрет в возрасте от 60,5 до 61,5 лет, в предположении Балдуччи. Решение Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой (7.51): Таким образом, следует найти функции выживания для дробного числа возрастов. Возникает задача аппроксимации, которая решается исходя из различных предположений распределения смертей. По условию необходимо использовать гипотезу Балдуччи. Воспользуемся формулой (7.93): Тогда Так как Ответ: в предположении Балдуччи вероятность того, что 60-летний мужчина умрет в возрасте от 60,5 лет до 61,5 лет, равна 0,0219. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | >> |
---|