Полная версия

Главная arrow Страховое дело arrow Актуарные расчеты

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

8.2. Страховые ренты (аннуитеты)

При заключении контракта по страхованию жизни или дополнительной пенсии страхователь уплачивает страховщику единовременно или в рассрочку определенную сумму денег. Страховщик, в свою очередь, обязуется единовременно или периодически выплачивать лицу, в пользу которого заключен контракт, оговоренные суммы денег (пожизненно или в течение некоторого срока). Последовательность периодических платежей принято называть страховым аннуитетом. Главное отличие страховых рент от финансовых (подробно рассмотренных нами в главе 6) заключается в том, что в страховом аннуитете выплата каждой суммы не является безусловной, она определяется наступлением определенного события (например, дожития до указанного в договоре возраста)[1]. Таким образом, каждая выплата при страховом аннуитете имеет свою вероятность.

Обобщающей характеристикой финансового аннуитета является современная стоимость. Современная стоимость аннуитета, состоящего из платежей S, ..., S, находится как сумма дисконтированных платежей:

при условии, что платежи производятся в конце каждого года, а момент оценки приходится на начало аннуитета.

В договорах страхования жизни и пенсий дело усложняется тем, что выплата сумм не является безусловной, она определяется вероятностью дожития застрахованного до соответствующего возраста. С учетом этого фактора современная величина одной выплаты через п лет в момент заключения контракта составит

где – вероятность прожить п лет лица в возрасте х лет.

Для последовательности выплат, представляющих страховой аннуитет, современная величина определяется но формуле

В страховании стоимостью аннуитета принято считать современную величину страховых выплат при условии, что S=1. Исходя из принципа эквивалентности обязательств единовременная премия (нетто-премия) должна быть равна стоимости аннуитета.

В случае если выплаты осуществляются в течение всей жизни, то говорят о пожизненной ренте. Если выплаты происходят в конце периода, то рента называется обыкновенной (постнумерандо – а), если в начале периода – приведенной (пренумерандоа). Подробно страховые ренты будут рассмотрены в главе 9. Здесь дадим определение обыкновенной пожизненной ренты. Предположим, что рента приобретается страхователем в возрасте х лет в момент заключения договора, а периодичность выплат – год. Тогда рента выплачивается в конце каждого года дожития: х + 1, х + 2, х + 3, .... со. В случае смерти выплаты ренты прекращаются. Необходимо определить актуарную стоимость пожизненной ренты, т.е. величину единовременной премии, которую должен заплатить страхователь для того, чтобы страховщик смог обеспечить выплату пожизненной ренты. Актуарная стоимость такой ренты обозначается ах.

Пусть в страховую компанию обратились /,. страхователей возраста х. Тогда в момент заключения контрактов суммарные поступления (премии) страховой компании составят – сумма, которая обеспечит пожизненные ежегодные выплаты для всех участников. Далее оставшиеся в живых участники получают суммы:

  • – через год после заключения контрактов;
  • – через 2 года после заключения контрактов;
  • – через k лет после заключения контрактов.

Современная (приведенная к моменту заключения договора) стоимость получаемых выплат составит:

  • – через год после заключения контрактов;
  • – через 2 года после заключения контрактов;
  • – через k лет после заключения контрактов.

Согласно принципу эквивалентности обязательств справедливо равенство:

где ω – предельный возраст по данным таблицы смертности. Левая часть равенства характеризует совокупные поступления страховой компании, правая – выплаты дожившим страхователям.

Путем несложных алгебраических преобразований получаем значение ал:

Умножив числитель и знаменатель каждого слагаемого в правой части и используя формулы (8.2) и (8.3), получаем выражение для расчета ренты через коммутационные функции:

Аналогичным образом можно получить формулы актуарной современной стоимости для других видов рент.

Для удобства использования в расчетах основные формулы страховых рент приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Формулы определения актуарной современной стоимости единичной ренты

Вид договора страхования

Актуарная современная стоимость единичной ренты (й – обыкновенной (постнумерандо); априведенной (пренумерандо))

Через коммутационные функции

Через демографические и финансовые показатели

Пожизненная рента

формулы связи рент

Пожизненная рента, отложенная (отсроченная) на k лет

формулы связи рент

Срочная страховая рента (на срок п лет)

формулы связи рент

Срочная страховая рента (на срок п лет), отложенная на к лет

формулы связи рент

ПРИМЕР 8.1

Двенадцатилетние брат и сестра – близнецы получают в наследство от дедушки по 100 000 у.е. По договору наследования эти деньги необходимо перевести в пожизненную страховую ренту с постоянными выплатами. Какую ежегодную выплату они будут получать, если:

  • а) выплаты начинаются с 18 лет;
  • б) рента немедленная (обыкновенная)?

Для расчетов следует использовать коммутационные функции по данным таблиц смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. (приложение 12).

Решение:

а) На момент получения наследства брату и сестре но 12 лет. В случае получения выплат начиная с 18 лет следует рассматривать обыкновенную пожизненную ренту, отложенную на 5 лет (или приведенную, отложенную на 6 лет, они обеспечивают выплаты с 18 лег). Тогда, используя формулы, приведенные в табл. 8.1, получаем:

для брата:

для сестры:

Тогда ежегодные выплаты составят:

для брата:

для сестры:

Как видим, лицо женского пола будет получать меньшую пожизненную ренту за счет большей средней продолжительности жизни, нежели лицо мужского пола, при одной и той же величине страховой премии.

б) В случае получения выплат немедленно (по обыкновенной ренте они начнутся в конце года заключения договора) следует использовать формулу

Тогда:

для брата:

для сестры:

Тогда ежегодные выплаты составят:

для брата:

для сестры:

Размер ежегодных выплат по немедленной ренте оказался, конечно же, ниже, чем по отложенной, так как выплаты по ней начнутся сразу, в год заключения договора, и общее их количество будет больше, чем при отложенной ренте из пункта а).

Ответ: а) ежегодно брат получит 7243,75 у.е., сестра – 6880,89 у.е.; б) ежегодно брат получит 5515,72 у.е., сестра – 5302,23 у.е.

ПРИМЕР 8.2

Родители решают обеспечить образование за рубежом своих 20-летних детей-близнецов (сына и дочери) путем покупки полиса срочной приведенной ренты.

  • а) Какова стоимость 5-летней страховой ренты с ежегодными выплатами по 10 000 у.е.?
  • б) Будет ли отличаться стоимость обыкновенной и приведенной ренты?
  • в) Как изменится стоимость 5-летней страховой ренты с ежегодными выплатами по 10 000 у.е. при норме доходности 10% 0 = о,1)?

Для расчетов следует использовать данные коммутационных функций и таблиц смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. (приложения 10 и 12).

Решение:

а) Для определения стоимости приведенной ренты сроком на 5 лет в 1 единицу страховой суммы с помощью коммутационных функций используется формула

Тогда:

для сына:

для дочери:

Общая стоимость 5-лстней приведенной ренты с ежегодными выплатами по 10 000 у.е. будет равна:

для сына:

для дочери:

Как видим, лицо женского пола 20 лет должно заплатить за срочную ренту несколько большую сумму, нежели лицо мужского пола, за счет большей средней вероятности дожития до конца срока действия договора ренты.

б) Определим стоимость обыкновенной ренты:

для сына:

для дочери:

Так как выплаты по обыкновенной ренте начнутся не сразу (как по приведенной), а в конце первого года, ее стоимость ниже приведенной.

Но необходимо заметить, что такого рода ренту надо заключить заранее, за год, чтобы выплаты начались в начале каждого учебного года, как того обычно требуют учебные заведения. Поэтому рента пренумерандо из пункта а) является более применимой в данной задаче (если речь идет о немедленной оплате обучения, а не через год).

в) Данные коммутационных функций и таблиц смертности, приведенные в приложениях 10 и 12, определены для нормы доходности 5%. Тогда для определения стоимости приведенной ренты сроком на 5 лет в 1 единицу страховой суммы при норме доходности 10% следует воспользоваться формулой (табл. 8.1):

Тогда:

для сына:

для дочери:

Общая стоимость 5-летней приведенной ренты с ежегодными выплатами по 10 000 у.е. будет равна:

для сына:

для дочери:

Как видим, повышение годовой процентной ставки г существенно снижает стоимость ренты.

Ответ: а) стоимость 5-летней приведенной страховой ренты с ежегодными выплатами по 10 000 у.е. составит: для сына – 45 290 у.е., для дочери – 45 410 у.е.; б) стоимость 5-летней обыкновенной страховой ренты с ежегодными выплатами по 10 000 у.е. составит: для сына – 43 040 у.е., для дочери – 43 220 у.е.; в) стоимость 5-летней обыкновенной страховой ренты с ежегодными выплатами по 10 000 у.е. при норме доходности 10% составит: для сына – 41 550 у.е., для дочери – 41 650 у.е.

Стоимость аннуитета определяется вероятностями дожития до моментов выплат и принятой ставкой процента. Если демографические показатели улучшаются, то растет и средняя вероятность продолжительности жизни, и выплата фактически будет производиться в больших объемах, чем это предусматривается в расчетах. Это значит, что расчетная стоимость аннуитета будет меньше необходимой. Противоположный эффект наблюдается при росте показателей смертности населения. Поэтому страховая организация должна применять наиболее актуальные таблицы смертности. Предпочтительнее использовать специальные таблицы, разработанные для отдельных групп населения.

Проанализируем влияние процентной ставки на стоимость аннуитета. Чем она выше, тем ниже стоимость аннуитета и дешевле страхование для клиента при всех прочих равных условиях (что мы видели в пункте в) примера 8.2). Влияние высокой ставки особенно заметно отражается в стоимости аннуитета для молодых страхователей (отложенные аннуитеты). Например, заключение договора страхования пенсии в молодом возрасте предполагает большие сроки накопления, поэтому стоимость пенсии становится малой.

Процентная ставка характеризует уровень доходности от взносов клиента, который гарантируется ему страховой организацией. Эта ставка – минимальная граница доходности от фактически инвестированных страховой организацией средств. Если фактическая доходность окажется ниже этой ставки, то соответствующая компенсация должна осуществляться за счет собственных средств страховщика.

  • [1] Касимов, Ю. Ф. Введение в актуарную математику страхования жизни и пенсионных схем). М.: Анкил, 2001.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>