Полная версия

Главная

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

2.2.3. Многомерная нормально распределенная генеральная совокупность

При рассмотрении различных моделей статистического анализа часто предполагается нормальное распределение всех или некоторых признаков генеральной совокупности. Говорят, что непрерывная k-мерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения вероятностей имеет вид [8, 10]

(2.3)

где– i-мерный вектор математических ожиданий;– матрица, обратная ковариационной матрицеразмерности– определитель ковариационной матрицы.

Напомним, что матрицаявляется симметрической и положительно определенной.

Таким образом, многомерный нормальный закон распределения определяется вектором математических ожиданий µ и ковариационной матрицей, т.е.параметрами генеральной совокупности.

Пример 2.1

Покажем, что при к = 1 имеет место одномерный нормальный закон распределения.

Решение

В самом деле, при . Тогда , а обратная матрица . Подставляя найденные значения в выражение (2.3), имеем

Мы получили плотность распределения одномерного нормального закона, зависящего от двух параметров: математического ожидания р и среднего квадратического отклонения а.

Приняв к = 2 в выражении (2.3), выведем плотность двумерного нормального закона распределения.

Решение

При к = 2 имеем

где– ковариации. Тогда, приняв, получим

Отсюда согласно выражению (2.3) получим

Разделив числитель и знаменатель на и учитывая, что, получим

(2.4)

Учитывая также, что

(2.5)

Из выражений (2.4) и (2.5) следует, что плотность двумерного нормального закона распределения определяется пятью параметрами: математическими ожиданиями р, и р2 случайных величин х{ и д2, их средними квадратическими отклонениями 0|,а2 и коэффициентом корреляции р.

Если случайные величины х1 и х2 некоррелированы, т.е. линейно независимы, то р = 0 и согласно формулам (2.4) и (2.5) имеемi. Таким образом, в случае нормального распределенияиз некоррелированности случайных величин х, и х2 следует их независимость [29].

Можно показать, что в случае нормально распределенной генеральной совокупности:

  • • все условные распределения при фиксировании различных подмножеств компонент являются нормальными;
  • • все частные распределения различных подмножеств компонент являются нормальными;
  • • необходимым и достаточным условием взаимной независимости компонент (или подмножеств компонент) является равенство нулю соответствующих коэффициентов корреляции;
  • • все квадратические уравнения регрессии являются линейными, поэтому в качестве показателей тесноты связи можно использовать всевозможные коэффициенты корреляции (детерминации).
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>