Полная версия

Главная

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Двумерная линейная модель регрессии

Пусть на основании анализа исследуемого явления предполагается, что в среднем у линейно зависит от х, т.е. имеет место уравнение регрессии [13, 29]

(4.1)

где – условное математическое ожидание случайной величины у при заданном х. Объясняющая переменная х рассматривается как неслучайная величина;и– неизвестные параметры генеральной совокупности, которые подлежат оценке по результатам выборочных наблюдений. С этой целью из двумерной генеральной совокупности () взята выборка объемом п, где () – результат i-го наблюдения,

В этом случае линейная регрессионная модель имеет вид

(4.2)

где Ej – взаимно независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, т.е.для всех и

Первое условие – это условие гомоскедастичности, постоянства остаточной дисперсии, второе – условие взаимной некоррелированности регрессионных остатков.

Наша задача – по выборке найти оценки параметров регрессионной модели.

Оценивание параметров регрессии

Согласно методу наименьших квадратов в качестве оценок неизвестных параметровиследует брать такие значения выборочных характеристики, которые минимизируют сумму квадратов отклонений значений результативного признакаот условного математического ожидания, т.е.

(4.3)

Так как функция Q дифференцируема пои, то для отыскания минимума функции (4.3) найдем частные производные пои:

(4.4)

Приравняв производные к нулю и подставив в равенства (4.4) вместо иих оценкии, получим

или (4.5)

Данная система уравнений называется системой нормальных уравнений.

Решая систему (4.5) относительнои, получим

(4.6)

Перейдя к средним, будем иметь

Таким образом, имеем оценку уравнения регрессии

Докажем, что в случае нормального закона распределения случайной величины е(, а отсюда согласно формуле (4.2) и, оценки метода наименьших квадратов и максимального правдоподобия совпадают.

Пусть из двумерной генеральной совокупности (.г, у) взята независимая выборка (), гдеобъемом п.

Будем рассматривать у, как независимые нормальные случайные величины с математическим ожиданием , являющимся функцией от Xj согласно формуле (4.1), и постоянной дисперсией

Тогда, где, и функция правдоподобия примет вид с учетом независимости наблюдения

Согласнометоду наибольшего правдоподобия в качестве оценок параметроввозьмем значения, максимизирующие функцию правдоподобия L. При заданныхи постоянномфункция правдоподобия L достигнет максимума, когда показатель степени при е будет минимальным, т.е. при условии минимума функции , что совпадает с условием (4.3) нахождения оценок по методу наименьших квадратов. Таким образом, оценкиобладают свойствами оценок наибольшего правдоподобия.

Однако функция правдоподобия L зависит также и от параметра ст. Из условиянайдем оценкунаибольшего правдоподобия параметра::

Несмещенная оценка параметраравна

(4.7)

Исследуем далее свойства оценоки

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>