Полная версия

Главная

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

4.2.4. Определение интервальной оценки для условного математического ожидания

Пусть имеем уравнение регрессии и его оценку

(4.21)

где– оценки метода наименьших квадратов параметров уравнения 113, 291.

Величина у есть линейная функция двух случайных величини, имеющих нормальный закон распределения. Следовательно,также имеет нормальный закон распределения. Параметры этого закона получим, учитывая выражения (4.10) и (4.15). Математическое ожидание

откуда . Для определения дисперсиипредварительно докажем независимость величини

Так как величиныиимеют нормальный закон распределения, то независимость этих величин следует из их некоррелированности. Следовательно, нам достаточно доказать, что

Учитывая выражения (4.10) и (4.20) и то, что хi есть неслучайная величина, получим

Так как, по условию есть независимые случайные величины с, топри, где. Следовательно,

где:. Учитывая, что, после подстановки окончательно получим

Этот результат получен для центрированных величин (), для которых выполняется условие. В этом случаеи– независимые случайные величины. Тогда согласно выражению (4.21) дисперсия величиныравна сумме дисперсий слагаемых, т.е.

Подставив выражения (4.11) и (4.16) в это равенство, получим

Таким образом,

Тогда нормированный нормальный закон распределения имеет величина

(4.22)

. Учитывая статистики (4.22) и (4.12), получим выборочную характеристику

которая имеет распределение Стьюдента (^распределение) сстепенями свободы, т.е.

Тогда с надежностью у доверительный интервал дляпри заданном равен

(4.23)

гдеопределяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимостии числа степеней свободы

Интервальная оценка для прогнозного значенияв точкеопределяется как

(4.24)

Из формулы (4.24) следует, что у прогнозного значениядисперсия набольше, чем у величины. Согласно формуле (4.23) по мере удаления от среднего значения () ширина доверительного интервала увеличивается, а точность оценки уы снижается. Доверительный интервал имеет наименьшую величину, когда. Расположение доверительного интервала дляпри заданной у иллюстрирует рис. 4.2.

Расположение доверительных границ в случае линейной регрессии

Рис. 4.2. Расположение доверительных границ в случае линейной регрессии

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>