Полная версия

Главная

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

4.2.5. Модель регрессии в случае двумерной нормальной генеральной совокупности

Рассмотрим генеральную совокупность с двумя признаками х и у, совместное распределение которых задано плотностью двумерного нормального закона

где

определяемого пятью параметрами: двумя математическими ожиданиями и„ двумя дисперсиямиии коэффициентом корреляции

где

Имея эти параметры, можно получить линейные уравнения регрессии, показывающие изменение условных математических ожиданий одной величины в зависимости от изменения значений соответствующих случайных аргументов:

– линейная регрессия у по х;

– линейная регрессия х по у

коэффициент регрессии у на х]

коэффициент регрессии х на у.

Из этих выражений следует, что знаки при коэффициентах регрессии и корреляции всегда совпадают и!.

Квадрат коэффициента корреляции р2 называют коэффициентом детерминации. В рассматриваемой модели он показывает долю дисперсии одной случайной величины, обусловленную вариацией другой.

Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц своего измерения в среднем увеличится (при р > 0) или уменьшится (при Р < 0) величина у, т.е. Му/х, если х увеличить на единицу своего измерения.

Задача двумерного регрессионного анализа состоит прежде всего в оценке пяти параметров, определяющих генеральную совокупность.

В качестве точечных оценок неизвестных начальных моментов первого и второго порядка генеральной совокупности берутся соответствующие выборочные моменты.

Точечные же оценки других параметров получают как функции от начальных моментов. Таким образом,будем иметь:– оценка для оценка для– оценка для – оценка для ' – оценка для. Отсюда получаем: – оценка для оценка для – оценка для .

Оценки генеральных коэффициентов регрессиииполучаются соответственно по формулам

(4.25)

откуда оценки уравнений регрессии имеют вид

При этом и являются оценками условных математических ожиданий и генеральной совокупности.

Следует отмстить, что вышеприведенные точечные оценки являются состоятельными, аи– несмещенными и эффективными. Кроме того, распределение выборочных средних () не зависит от распределения ().

На примере двумерного распределения мы показали, что в случае многомерного (^-мерного) нормального закона распределения легко прослеживается связь между переменными, характеризирующими тесноту и вид связи в моделях корреляционного и линейного регрессионного анализа.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>