Полная версия

Главная

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

4.3.3. Доверительные интервалы для параметров регрессионной модели

Пусть вектор ошибок е имеет n-мерное нормальное распределение. В этом случае вектор Y наблюдений (4.29) также имеет нормальное распределение, и из взаимной некоррелированности его элементов у, следует их независимость.

Выше показано, что оценка bj,j = 0,1,2,.... к, имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием (3; и дисперсией согласно (4.34)

Отсюда статистика имеет нормированный нормальный закон распределения.

Согласно выражению (4.38) статистикаимеет распределение х2 с п – It – 1 степенями свободы.

Напомним, что случайная величина

(4.45)

подчиняется распределению Стьюдента ((-распределение) с v степенями свободы, если г имеет нормированное нормальное распределение (г ~ N(0; 1)), и2 имеет распределение х2 с v степенями свободыi, причем г и и независимы.

Подставив г и и в выражение (4.45), получим выборочную характеристику

(4.46)

которая имеет распределение Стьюдента с (п – k – 1) степенями свободы. Используя характеристику (4.46), построим с доверительной вероятностью у интервальную оценку для

(4.47)

Теперь определим интервальную оценку для уравнения регрессии уы в точке, определяемой вектором начальных условий Х° размерности к + 1:

Тогда несмещенная точечная оценка с минимальной дисперсией регрессии уы в точке, определяемой условиями Хп, равна уы = (Хп)' Ь.

В самом деле:

где E((l) – ковариационная матрица вектора оценок Ь.

Найдем доверительный интервал для уы, используя статистику

которая согласно выражению (4.45) имеет распределение Стьюдента с и – -k – 1 степенями свободы. Из условия Р(т<t.f) = у, раскрыв неравенство, стоящее в скобках, найдем интервальную оценку для уы в точке, определяемой вектором Х°, с надежностью у:

(4.48)

где fy определяется по таблице ^-распределения Стьюдента для вероятности а = 1 – у и числа степеней свободы п – к – 1.

Интервальная оценка #„+1 в точке предсказания Х'|+1 с надежностью у определяется как

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>