Полная версия

Главная

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

4.3.4. Регрессионный анализ фондоотдачи

Регрессионный анализ фондоотдачи рассмотрим на следующем примере.

Пример 4.2 [13]

В табл. 4.2 приводятся данные п = 15 цементных заводов страны. На основе линейной регрессионной модели требуется исследовать зависимость у – фондоотдачи в процентах на единицу основных производственных фондов (ОПФ) от Л', – среднечасовой производительности вращающихся печей ш2 – удельного веса активной части ОПФ.

Таблица 4.2

Исходные и расчетные данные

№ п/п

1

26

37

39

26,779

0,607

2

33

33

40

29.532

12,026

3

24

15

35

27,616

13,073

4

29

36

48

40,643

135,562

5

42

26

53

51,290

86,309

6

24

24

42

35,350

128,823

7

52

15

54

56,226

17,859

8

56

33

54

50,613

29,016

9

26

44

50

41,160

229,832

10

45

34

53

48,796

14,408

11

27

63

46

29,213

4,896

12

54

8

50

52.385

2.607

13

34

44

43

30,620

11,427

14

48

43

55

49,001

1,002

15

45

31

51

46.719581

2,957

Итого

565

486

713

690.404

Решение

Для определения вектора оценок согласно соотношению (4.31) найдем предварительно симметричную матрицу ХТХ, которая имеет вид

и равна для нашего примера

Вектор XTY имеет вид

Для нашего примера имеем

Обратная матрица (ХТХ)~1 равна

Подставив найденный вектор XTY и матрицу тХ)~хъ выражение (4.31), найдем вектор оценок:

Таким образом, и оценка уравнения регрессии имеет вид

Для проверки значимости уравнения регрессии согласно выражению (4.43) нужно найти

Воспользуемся данными табл. 4.2. Из них следует, что. Тогда несмещенная оценка остаточной дисперсии ст2 равна

По данным табл. 4.2 найдем

Проверим на уровне значимости а = 0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу //0: (3 = 0. Согласно выражению (4.43)

По таблице ^-распределения для а = 0,05 и чисел степеней свободы v, = 3 и v2 = 12 найдем критическое значение Ткр(0,05; 3: 12) = 3,49. Так как Тн.^л > FK.p, гипотеза Я 0: (3 = 0 отвергается, т.е. хотя бы один элемент векторане равен нулю.

Перед проверкой значимости отдельных коэффициентов регрессии найдем оценку ковариационной матрицы (4.39) вектора Ь. Для этого достаточно элементы обратной матрицы (Х^Х)-1 умножить на 52 =57,534. Тогда будем иметь

Из статистического смысла ковариационной матрицы следует, что оценки дисперсии коэффициентов уравнения регрессиисоответственно равны

Проверим значимость коэффициента (3,. т.е. гипотезу

Согласно статистике (4.44)

По таблице ^-распределения для значений а = 0,05 и v2 = 12 гкр = 2,179. Так как 1¾ |<?кр"то гипотеза 3, = 0 не отвергается, т.е. 3, незначим.

Проверим теперь гипотезу Н0:$2 = 0. Имеем

Так как tf. > ГК|) = 2,179, гипотеза //0: Зг = 0 отвергается, т.е. Зг * 0.

Согласно алгоритму пошагового регрессионного анализа исключим из расемотрения переменную лг,, имеющую незначимый коэффициент 3i регрессии. Уравнение регрессии будем искать в виде £ = 3o+3i*2- Исходные данные для оценки Зо и 3i представлены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Исходные данные

№ п/п (i)

1

26

39

25.468

0,283

2

33

40

26,884

37,405

3

24

35

19,804

17,610

4

29

48

38,213

84,874

5

42

53

45,293

10,845

6

24

42

29,716

32,675

7

52

54

46,709

27,992

8

56

54

46,709

86,318

9

26

50

41,045

226,349

10

45

53

45,293

0,0856

11

27

46

35,381

70,233

12

54

50

41,045

167,835

13

34

43

31,132

8,2234

14

48

55

43,12535

0,157

15

45

51

42,461

6,447

Итого

565

713

777,192

Тогда матрица Xт будет иметь вид и

Обратную матрицу ТХ)~1 вычислим по формуле где Д, – алгебраическое дополнение к элементу матрицы ТХ).

Найдем определитель матрицы |ХГХ|:

Тогда обратная матрица

Найдем вектор XTY:

Тогда вектор оценок (4.31) равен

а оценка уравнения регрессии имеет вид

Из табл. 4.3 найдем несмещенную оценку остаточной дисперсии:

где

Оценка ковариационной матрицы вектора b равна Отсюда

Для проверки значимости коэффициента Р2, т.е. гипотезы //0:Р2 = 0, найдем

Определим критическое значение для а = 0,05; v=п – 2 = 13 по таблице: * =2,16. Так как,, нулевая гипотеза отвергается (02 * 0). Таким образом, окончательно оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет вид

Коэффициент регрессии при х2 показывает, что при росте удельного веса активной части на единицу ОПФ (%) фондоотдача в среднем увеличивается на 1,41609 ед.

Найдем теперь с доверительной вероятностью у = 0,96 интервальную оценку для коэффициента регрессии Р2. Согласно оценке (4.47)

где ty = 2,16. находим по таблице ^распределения при а = 1 – у = 0,05 nv = n- k- i = = 15 – 2 = 13. Отсюда 1,416-0,703 <0, <1,416 + 0,703, или 0,713<р, <2,119.

Доверительную границу для условного математического ожидания у найдем с надежностью у = 0,95 в точке, определяемой вектором начальных условий:

Предварительно найдем матричное произведение:

Согласно соотношению (4.48) интервальная оценка для у равна откуда у €[41,045 ±4,642] и окончательно

Таким образом, с доверительной вероятностью у = 0,95 мы можем гарантировать, что при значенииудельный вес активной части ОПФ завода будет находиться в интервале от 36.403 до 45,687%.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>