Конструкция одностороннего риска и односторонний бета-коэффициент в однофакторных и многофакторных моделях
Еще одна критическая область связана с предпосылками о вероятностном распределении цен и доходностей ценных бумаг. Как показывает практика, одновременное выполнение требований о симметричности и нормальности распределения ожидаемой доходности акций недостижимо. Характеристики распределения доходности по компаниям российского рынка показаны в табл. 19.7[1]. Решение проблемы – использование не классической (двусторонней) дисперсии, а односторонней (semivariance frameworks). Такое решение обосновывается следующими доводами:
- 1) использование односторонней дисперсии обоснованно при различных распределениях доходности акций, как симметричных, так и несимметричных;
- 2) односторонняя дисперсия содержит информацию, предоставляемую двумя характеристиками функции распределения: дисперсией и коэффициентом скошенности, что дает возможность использовать однофакторную модель для оценки ожидаемой доходности актива (портфеля).
Различные односторонние меры систематического риска (односторонние бета) предложены в моделях Бау – Линдерберга (1977), Харлоу – Рэя (1989), Хогана – Воррена (1974), Эстрады (2002)[2]. Эти модели развивают конструкцию ES-CAPM (expected return – semivariance capital asset pricing model) – ценообразование финансовых активов, основанное на подходе "ожидаемая доходность – односторонняя вариация". Различия моделей связаны с алгоритмом расчета одностороннего систематического риска и выбором бенчмарка (нулевое значение, безрисковая ставка или средняя ранее наблюдаемая доходность по активу). Ожидаемая доходность в рамках ES-CAPM может быть записана следующим образом:
Таблица 19.7
Описательная статистика распределения доходности акций 50 финансовых активов, определяющих 95% капитализации на бирже ММВБ на временно́м отрезке 2004–2007 гг.
Компания |
Средняя недельная доходность, % |
Стандартное отклонение недельной доходности |
Дисперсия |
Эксцесс |
Асимметрия |
Минимум доходности, % |
Максимум доходности, % |
Начало данных |
Мосэнерго |
0,034 |
8,453 |
71,460 |
32,373 |
-1,772 |
-20,738 |
48,273 |
02.01.2004 |
Газпромнефть |
0,272 |
4,359 |
18,997 |
1,591 |
-0,257 |
-16,336 |
15,270 |
02.01.2004 |
Газпром |
0,566 |
4,302 |
18,506 |
1,314 |
-0,542 |
-15,274 |
9,423 |
27.01.2006 |
ГМК Норникель |
0,556 |
5,631 |
31,709 |
1,881 |
-0,264 |
-20,229 |
19,885 |
02.01.2004 |
Иркэнерго |
0,803 |
4,863 |
23,644 |
1,732 |
0,551 |
-11,229 |
20,365 |
02.01.2004 |
КамАЗ |
1,376 |
5,637 |
31,772 |
7,140 |
1,912 |
-10,038 |
29,126 |
18.02.2005 |
ВТБ |
-0,229 |
4,333 |
18,779 |
3,870 |
1,125 |
-8,213 |
14,812 |
01.06.2007 |
Седьмой Континент |
0,574 |
4,372 |
19,114 |
4,310 |
-0,277 |
-20,516 |
16,372 |
14.01.2005 |
ОГК-2 |
0,313 |
3,449 |
11,894 |
2,575 |
0,943 |
-6,768 |
12,344 |
11.08.2006 |
ОГК-3 |
0,859 |
3,873 |
15,001 |
2,474 |
0,716 |
-10,011 |
13,683 |
17.02.2006 |
ОГК-4 |
0,891 |
3,957 |
15,656 |
1,681 |
0,987 |
-6,914 |
12,043 |
01.12.2006 |
ОГК-5 |
0,964 |
4,376 |
19,146 |
5,237 |
1,536 |
-9,585 |
21,383 |
23.09.2005 |
МТС |
0,502 |
4,249 |
18,055 |
0,927 |
0.341 |
-10,514 |
17,982 |
02.01.2004 |
ПИК |
1,262 |
7,516 |
56,483 |
13,237 |
3,209 |
-6,805 |
33,117 |
06.07.2007 |
Полиметалл |
-0,538 |
4,617 |
21,317 |
3,422 |
0,468 |
-12,729 |
14,248 |
09.03.2007 |
Полюс-золото |
-0,283 |
4,706 |
22,143 |
1,525 |
-0,480 |
-13,872 |
11,988 |
19.05.2006 |
Лукойл |
0,361 |
4,185 |
17,514 |
2,722 |
-0,118 |
-16,359 |
17,356 |
02.01.2004 |
АО Магнит |
1,035 |
4,339 |
18,824 |
3,241 |
-0,844 |
-16,252 |
9,531 |
30.06.2006 |
АО МГТС-5 |
0,409 |
3,550 |
12,602 |
9,977 |
1,569 |
-9,471 |
24,599 |
02.01.2004 |
ММК |
0,953 |
4,082 |
16,663 |
1,497 |
0,795 |
-9,219 |
14,560 |
27.01.2006 |
НЛМК |
0,858 |
5,092 |
25,927 |
1,520 |
-0,714 |
-17,284 |
10,817 |
21.04.2006 |
Новатэк |
0,319 |
4,530 |
20,517 |
0,873 |
0,106 |
-12,711 |
13,879 |
25.08.2006 |
АО ОГК1 |
0,342 |
4,547 |
20,672 |
-0,196 |
-0,438 |
-9,385 |
8,119 |
27.07.2007 |
Распадская |
1,225 |
5,438 |
29,575 |
1,892 |
0,988 |
-11,744 |
19,398 |
17.11.2006 |
Росбанк |
-0,805 |
5,473 |
29,952 |
4,098 |
0,347 |
-17,895 |
22,037 |
24.02.2006 |
Роснефть |
0,572 |
3,071 |
9,434 |
1,995 |
-0,355 |
-10,449 |
7,843 |
28.07.2006 |
Ростелеком |
0,437 |
4,635 |
21,479 |
5,408 |
0,985 |
-10,898 |
25,682 |
02.01.2004 |
Сбербанк |
1,038 |
4,514 |
20,377 |
1,613 |
0,379 |
-10,728 |
19,003 |
02.01.2004 |
Сбербанк-П |
1,001 |
4,976 |
24.760 |
3,027 |
0,511 |
-14,815 |
23,576 |
02.01.2004 |
Северсталь |
0,909 |
4,413 |
19,477 |
1,354 |
-0,106 |
-14,332 |
16,275 |
24.06.2005 |
Систгалс |
-0,657 |
3,435 |
11,798 |
0,645 |
-0,660 |
-11,264 |
5,530 |
17.11.2006 |
Сургутнефтегаз |
0,086 |
4,776 |
22,809 |
2,867 |
-0,379 |
-20,393 |
18,319 |
02.01.2004 |
Сургутнефтегаз-п |
0,182 |
4,679 |
21,892 |
3,499 |
-0,279 |
-19,249 |
21,247 |
02.01.2004 |
ЗАО Татнефть |
0,631 |
5,060 |
25,608 |
2,027 |
-0,747 |
-19,172 |
13,711 |
02.01.2004 |
ТГК-1 |
-0,468 |
2,979 |
8,877 |
1,405 |
-0,405 |
-9,015 |
6,531 |
30.03.2007 |
ТГК-4 |
-0,299 |
3,386 |
11,468 |
1,495 |
0.759 |
-6,357 |
9,560 |
09.03.2007 |
ТГК-9 |
0,943 |
8,883 |
78,912 |
11,354 |
2,623 |
-20,764 |
41,664 |
27.10.2006 |
АОТМК |
0,411 |
4,910 |
24,106 |
0,891 |
-0,545 |
-13,496 |
9,626 |
27.04.2007 |
Транснфап |
0,475 |
4,866 |
23,681 |
0,685 |
0,321 |
-11,806 |
15,383 |
02.01.2004 |
АО Уралсви |
0,162 |
4,411 |
19,453 |
0,689 |
0,445 |
-11,367 |
14,963 |
02.01.2004 |
Фортум |
-0,002 |
2,225 |
4,949 |
0,651 |
0,434 |
-5,220 |
4,936 |
25.05.2007 |
АвтоВАЗ |
0,770 |
5,601 |
31,373 |
3,240 |
0,697 |
-16,329 |
22,761 |
02.01.2004 |
Акрон |
0,511 |
3,902 |
15,226 |
4,356 |
1,152 |
-10,727 |
15,990 |
27.10.2006 |
Аэрофлот |
0,654 |
4,465 |
19,940 |
4,796 |
1,076 |
-13,684 |
22,342 |
02.01.2004 |
Балтика |
0,086 |
1,809 |
3,271 |
0,350 |
-0,307 |
-4,966 |
4,033 |
08.09.2006 |
Банк Москвы |
1,270 |
6,751 |
45,579 |
3,359 |
1,118 |
-16,938 |
26,953 |
24.12.2004 |
ВБД |
1,019 |
4,728 |
22,353 |
1,735 |
0,297 |
-12,747 |
14,524 |
22.09.2006 |
АО Мегион |
0,198 |
4,362 |
19,024 |
1.429 |
0,605 |
-11,545 |
16,003 |
02.01.2004 |
РБК |
0,476 |
3,948 |
15,589 |
3,203 |
0,606 |
-14,321 |
16,700 |
02.01.2004 |
АО Калина |
0,304 |
4,580 |
20,980 |
1,715 |
-0,355 |
-14,705 |
12,114 |
20.05.2005 |
Глава 19. Развитие конструкции САРМ: переход к многофакторности...
где – требуемая доходность на актив ί;
– безрисковая ставка процента;
– ожидаемая рыночная доходность;
– односторонняя вариация рыночного портфеля;
– односторонняя ковариация между доходностью актива i и рыночным портфелем с принятым бенчмарком на уровне безрисковой ставки.
Премия за риск инвестирования в актив находится в линейной зависимости от систематического риска этого актива, но в данном случае измеряемого не традиционным, а односторонним бета-коэффициентом.
Бета-коэффициент Хогана – Воррена (1974), HW-beta
В модели Харлоу – Рэя (1989) односторонний бета-коэффициент (HR-beta) вычисляется по формуле
где – доходность актива i;
– доходность рыночного портфеля;
– средняя доходность актива i,
– средняя доходность рыночного портфеля.
Односторонняя ковариация, предложенная Хоганом и Ворреном (1974), Бау и Линдербергом (1977) и Харлоу и Рэем (1989), имеет ряд ограничений. Так, односторонняя ковариация между доходностью актива i и рыночного портфеля М количественно отличается от односторонней ковариации между доходностью рыночного портфеля М и актива i. Эта проблема преодолевается в модели одностороннего риска Эстрады.
Односторонний бета-коэффициент Эстрады (E-beta) рассчитывается по формуле
где – односторонняя ковариация;
– односторонняя корреляция (нормированная ковариация).
Модель D-CAPM расчета ожидаемой (и требуемой) доходности актива i Эстрады выглядит следующим образом:
где – безрисковая ставка доходности; MRP – рыночная премия за риск.
Оценка одностороннего бета-коэффициента для актива i (Эстрада в качестве актива рассматривал страновые фондовые индексы[3]) может быть получена в рамках регрессионного анализа. При этом необходимо оценивать коэффициенты регрессии без свободного члена вида:
где
При этом и
являются средними арифметическими для рядов у и х соответственно.
Заметим, что согласно модели Эстрады (с ) актив i увеличивает риск портфеля только тогда, когда доходность актива и рыночная доходность меньше, чем их соответствующие средние значения, т.е.
и
. Согласно же модели Харлоу – Рэя (с
) риск портфеля меняется, когда доходность актива больше, чем среднее значение доходности по этому активу, а рыночная доходность меньше, чем ее среднее значение, т.е.
и
. В модели Хогана – Воррена (с
) риск портфеля меняется, когда доходность актива превышает безрисковую ставку, а рыночная доходность при этом меньше безрисковой ставки (
и
), т.е. сравнение происходит не со средними уровнями доходности, а с безрисковой ставкой на рынке.
При расчете и
учитываются левосторонние отклонения по рыночной доходности, в то время как в модели Эстрады при расчете
учитывается еще и левостороннее отклонение доходности по активу. Конструкции, предложенные как Эстрадой, так и Харлоу и Рэем (1989), основываются на бенчмарке (целевом уровне), равном среднему значению распределения доходностей, в то время как подход Хогана и Воррена (1974) предполагает целевой уровень, равный безрисковой ставке.
В работе Т. В. Тепловой (2011, 2013)[4] сопоставлены различные односторонние меры риска, а также учет асимметрии и эксцесса в объяснении различий доходностей высоколиквидных акций российского рынка.
- [1] Из табл. 19.7 очевидно, что практически по всем компаниям выборки наблюдается островершинность распределения доходности (leptokurtosis). Аналогичная ситуация наблюдается и на отрезке 2008–2009 гг. Большинство компаний демонстрирует отрицательную асимметрию (в 2004–2007 гг. – 25 финансовых активов из 50, в 2008– 2009 гг. – 30 финансовых активов из 50).
- [2] Hogan W., WarrenJ. Toward the development of an equilibrium capital-market model based on semivariance// Journal of Financial Quant. Analysis. 1974. Vol. 9 (1). P. 1–iUBaiva V., Lindenberg E. Capital market equilibrium in a mean lower partial moment framework // Journal of Financial Economics. 1977. Vol. 5. P. 189–200; Harlow V., Ray R. Asset pricing in a generalized mean-lower partial moment framework: Theory and evidence //Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1989. Vol. 24. P. 285–301; EstradaJ. Systematic Risk in Emerging Markets: the D-CAPM // Emerging Markets Review. 2002. Vol. 3. P. 365–379; Estrada J. Mean-Semivariance behavior (II): the D-CAPM // WP, IESE Business School. Sept. 2002.
- [3] Для тестирования предложенной модели Эстрада использован ежемесячные наблюдения о фондовых индексах 27 развивающихся стран из базы данных Morgan Stanley Capita! за период 1988–2001 гг.
- [4] URL: papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1966343, коллективная монография "Инновации на финансовых рынках", глава 9, 2013, изд. НИУ ВШЭ.