Конструкция одностороннего риска и односторонний бета-коэффициент в однофакторных и многофакторных моделях

Еще одна критическая область связана с предпосылками о вероятностном распределении цен и доходностей ценных бумаг. Как показывает практика, одновременное выполнение требований о симметричности и нормальности распределения ожидаемой доходности акций недостижимо. Характеристики распределения доходности по компаниям российского рынка показаны в табл. 19.7^[1]. Решение проблемы – использование не классической (двусторонней) дисперсии, а односторонней (semivariance frameworks). Такое решение обосновывается следующими доводами:

• 1) использование односторонней дисперсии обоснованно при различных распределениях доходности акций, как симметричных, так и несимметричных;
• 2) односторонняя дисперсия содержит информацию, предоставляемую двумя характеристиками функции распределения: дисперсией и коэффициентом скошенности, что дает возможность использовать однофакторную модель для оценки ожидаемой доходности актива (портфеля).

Различные односторонние меры систематического риска (односторонние бета) предложены в моделях Бау – Линдерберга (1977), Харлоу – Рэя (1989), Хогана – Воррена (1974), Эстрады (2002)^[2]. Эти модели развивают конструкцию ES-CAPM (expected return – semivariance capital asset pricing model) – ценообразование финансовых активов, основанное на подходе "ожидаемая доходность – односторонняя вариация". Различия моделей связаны с алгоритмом расчета одностороннего систематического риска и выбором бенчмарка (нулевое значение, безрисковая ставка или средняя ранее наблюдаемая доходность по активу). Ожидаемая доходность в рамках ES-CAPM может быть записана следующим образом:

Таблица 19.7

Описательная статистика распределения доходности акций 50 финансовых активов, определяющих 95% капитализации на бирже ММВБ на временно́м отрезке 2004–2007 гг.

Глава 19. Развитие конструкции САРМ: переход к многофакторности...

где – требуемая доходность на актив ί; – безрисковая ставка процента; – ожидаемая рыночная доходность; – односторонняя вариация рыночного портфеля;– односторонняя ковариация между доходностью актива i и рыночным портфелем с принятым бенчмарком на уровне безрисковой ставки.

Премия за риск инвестирования в актив находится в линейной зависимости от систематического риска этого актива, но в данном случае измеряемого не традиционным, а односторонним бета-коэффициентом.

Бета-коэффициент Хогана – Воррена (1974), HW-beta

В модели Харлоу – Рэя (1989) односторонний бета-коэффициент (HR-beta) вычисляется по формуле

где – доходность актива i; – доходность рыночного портфеля; – средняя доходность актива i, – средняя доходность рыночного портфеля.

Односторонняя ковариация, предложенная Хоганом и Ворреном (1974), Бау и Линдербергом (1977) и Харлоу и Рэем (1989), имеет ряд ограничений. Так, односторонняя ковариация между доходностью актива i и рыночного портфеля М количественно отличается от односторонней ковариации между доходностью рыночного портфеля М и актива i. Эта проблема преодолевается в модели одностороннего риска Эстрады.

Односторонний бета-коэффициент Эстрады (E-beta) рассчитывается по формуле

где – односторонняя ковариация;

– односторонняя корреляция (нормированная ковариация).

Модель D-CAPM расчета ожидаемой (и требуемой) доходности актива i Эстрады выглядит следующим образом:

где – безрисковая ставка доходности; MRP – рыночная премия за риск.

Оценка одностороннего бета-коэффициента для актива i (Эстрада в качестве актива рассматривал страновые фондовые индексы^[3]) может быть получена в рамках регрессионного анализа. При этом необходимо оценивать коэффициенты регрессии без свободного члена вида:

где

При этом и являются средними арифметическими для рядов у и х соответственно.

Заметим, что согласно модели Эстрады (с ) актив i увеличивает риск портфеля только тогда, когда доходность актива и рыночная доходность меньше, чем их соответствующие средние значения, т.е. и . Согласно же модели Харлоу – Рэя (с ) риск портфеля меняется, когда доходность актива больше, чем среднее значение доходности по этому активу, а рыночная доходность меньше, чем ее среднее значение, т.е. и . В модели Хогана – Воррена (с) риск портфеля меняется, когда доходность актива превышает безрисковую ставку, а рыночная доходность при этом меньше безрисковой ставки (и), т.е. сравнение происходит не со средними уровнями доходности, а с безрисковой ставкой на рынке.

При расчете и учитываются левосторонние отклонения по рыночной доходности, в то время как в модели Эстрады при расчете учитывается еще и левостороннее отклонение доходности по активу. Конструкции, предложенные как Эстрадой, так и Харлоу и Рэем (1989), основываются на бенчмарке (целевом уровне), равном среднему значению распределения доходностей, в то время как подход Хогана и Воррена (1974) предполагает целевой уровень, равный безрисковой ставке.

В работе Т. В. Тепловой (2011, 2013)^[4] сопоставлены различные односторонние меры риска, а также учет асимметрии и эксцесса в объяснении различий доходностей высоколиквидных акций российского рынка.

• [1] Из табл. 19.7 очевидно, что практически по всем компаниям выборки наблюдается островершинность распределения доходности (leptokurtosis). Аналогичная ситуация наблюдается и на отрезке 2008–2009 гг. Большинство компаний демонстрирует отрицательную асимметрию (в 2004–2007 гг. – 25 финансовых активов из 50, в 2008– 2009 гг. – 30 финансовых активов из 50).
• [2] Hogan W., WarrenJ. Toward the development of an equilibrium capital-market model based on semivariance// Journal of Financial Quant. Analysis. 1974. Vol. 9 (1). P. 1–iUBaiva V., Lindenberg E. Capital market equilibrium in a mean lower partial moment framework // Journal of Financial Economics. 1977. Vol. 5. P. 189–200; Harlow V., Ray R. Asset pricing in a generalized mean-lower partial moment framework: Theory and evidence //Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1989. Vol. 24. P. 285–301; EstradaJ. Systematic Risk in Emerging Markets: the D-CAPM // Emerging Markets Review. 2002. Vol. 3. P. 365–379; Estrada J. Mean-Semivariance behavior (II): the D-CAPM // WP, IESE Business School. Sept. 2002.
• [3] Для тестирования предложенной модели Эстрада использован ежемесячные наблюдения о фондовых индексах 27 развивающихся стран из базы данных Morgan Stanley Capita! за период 1988–2001 гг.
• [4] URL: papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1966343, коллективная монография "Инновации на финансовых рынках", глава 9, 2013, изд. НИУ ВШЭ.